:: hodina tretia

Obsah

Vsádzkový izotermický reaktor - určenie operačného času >>>

Vsádzkový izotermický reaktor - viaceré reakcie >>>

Príklad č.1

Určite čas, potrebný na dosiahnutie konverzie 80 % vo vsádzkovom izotermickom reaktore! V systéme prebieha reakcia prvého poriadku: eqn pričom počiatočné látkové množstvo látky A bolo 7.5 mol a rýchlostná konštanta reakcie je 0,05 min-1. Reaktor má teplotu 300 K a objem 15 L. Riešte metódou analytickou aj numericky!

Riešenie

1. analytické

Vychádzame z materiálovej bilancie vsádzkového reaktora: eqn pre koncentráciu platí: eqn po dosadení: eqn integrujeme v hraniciach pre čas od 0 po t a zodpovedajúcu konverziu, teda 0 až 0.8: eqn po dosadení dostaneme výsledok: 32.188 min.

2. numerické - riešenie integrálu lichobežníkovou metódou

Pokiaĺ dostaneme pod operátorom integrácie zložitý argument (čo síce nie je tento prípad, no na ilustráciu veľmi vhodný), nemusíme ho riešiť analyticky, vhodnejšie je numericky. Zvolíme jednoduchú lichobežníkovú metódu. Pre lepšie pochopenie viď ilustrácia. Povedzme, že sa dostaneme od rovnice materiálovej bilancie k nasledovnému tvaru riešenej rovnice: eqn a chceme riešiť integrál, dôležité je vedieť, že chcem vyrátať plochu, ktorú na grafe ohraničuje zhora podintegrálna funkcia (t.j. 1/(1-Xa) ), zľava a sprava hranice integrovania a zdola x-ová os. Lichobežníková metóda všeobecne: eqn eqn Hodnota integrálu v našom vzťahu bude teda daná ako súčet obsahov jednotlivých segmentov, na ktoré sme graf rozdelili (čím ich je viac, tým presnejší je numerický výpočet integrálu): eqn Súčet obsahov jednotlivých segmentov je 1.61441 pri zvolenom kroku ΔXA = 0.05. Aby sme však dostali konečnú hodnotu času, treba dosadiť túto hodnotu integrálu do vzťahu a dostaneme čas: 32.288 min, čo je hodnota veľmi blízka analytickému riešeniu.

2. numerické - riešenie diferenciálnej rovnice Eulerovou metódou

Eulerova metóda je najjednoduchšia explicitná metóda riešenia jednoduchších obyčajných diferenciálnych rovníc (ODE). Opäť presnosť závisí na zvolenom diferenčnom kroku. Touto metódou sa dá veľmi dobre riešiť aj sústava jednoduchších ODE.
Opäť vychádzame z MB zložky A, pričom sa dopracujeme k nasledovnému vzťahu: eqn základom Eulerovej metódy je náhrada derivácií za diferencie, čiže eqn alebo eqn Eulerova metóda všeobecne: eqn v našom prípade: eqn alebo eqn pre prvý krok (výpočet t1) za veličiny s indexom 0 dosadíme začiatočné podmienky: čas a hodnotu XA v danom čase. Tento postup opakujeme až dostaneme sériu údajov t a XA, z ktorej vyberieme čas, pri ktorom XA = 0.8 : t = 31.405 min pre krok ΔXA = 0.02.

Príklad č.2

Vo vsádzkovom reaktore prebiehajú reakcie: eqn kde rýchlostné konštanty majú hodnoty: eqn Na začiatku reakcie je koncentrácia látky A rovná 1 kmol/m3. Nakreslite priebeh koncentrácií látok A, B, C s časom! Kedy bude koncentrácia C maximálna? Ako má byť veľký reaktor ak potrebujeme vyrobiť 10 kmol látky C za jednu smenu (8h) a operačný čas je 1,3 h?

Riešenie

Časové závislosti koncentrácií jednotlivých zložiek sa dajú vyjadriť nasledovne: eqn ktoré budú po uplatnení Eulerovej metódy vyzerať asi takto: eqn Hoci to na prvý pohľad vyzerá zdivočelo, Excel si s riešením takýchto rovníc poradí poľahky (viď priložený excel súbor). Pre čas, v ktorom bude koncentrácia látky C maximálna (CCmax=0.4684 kmol/m3), dostávame tak hodnotu tCmax=0.70 h.
Objem potrebného reaktora zistíme nasledovnou úvahou:
1. určíme koľko cyklov sa spraví počas smeny: eqn 2. v jednom cykle teda máme vyrobiť 2.5 kmol látky C (10kmol/n)
3. za predpokladu, že reaktor sa odstaví pri dosiahnutí max. koncentrácie C, tak jeho objem je jasný ako facka eqn